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單項(xiàng)選擇題二次型f（x₁，x₂，x₃）=（x₁+ax₂-2x₃）²+（2x₂+3x₃）²+（x₁+3x₂+ax₃）²是正定二次型的充分必要條件是（）。

A.a〉1
B.a〈1
C.a≠1
D.a=1

1.問答題已知向量組α₁=（1，-1，2，4），α₂=（0，3，1，2），α₃=（3，0，7，14），α₄=（2，1，5，10），α₅=（1，-2，2，0），求此向量組的秩及其一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。

2.單項(xiàng)選擇題若二次型f（x₁，x₂，x₃）=t（x²₁+x²₂+x²₃）+2x₁x₂+2x₁x₃-2x₂x₃為正定的，則t的取值范圍是（）。

A.（2，+∞）
B.（-∞，2）
C.（-1，1）
D.（-√2，√2）

3.單項(xiàng)選擇題設(shè)A為n階對稱矩陣，則A是正定矩陣的充分必要條件是（）。

A.二次型x^TAx的負(fù)慣性指數(shù)零
B.存在n階矩陣C使得A=C^TC
C.A沒有負(fù)特征值
D.A與單位矩陣合同

4.問答題 設(shè)A為n階正定矩陣，x=（x₁，…，x_n）^T∈Rⁿ，b是一固定的實(shí)n維列向量，證明：p（x）=x^TAx-x^Tb，在x₀=A^-1b處取得最小值，且p_min=-b^TA^-1b.

5.問答題判斷下列向量是否線性相關(guān)，并求出一個極大線性無關(guān)組。α₁^T=（1，2，1，3），α₂^T=（4，-1，-5，-6），α₃^T=（1，-3，-4，-7），α₄^T=（2，1，-1，0）。